Jüssen a grandi à Husum. Après avoir obtenu son diplôme d'une école supérieure de commerce, il effectue un apprentissage d'employé de banque. Il entre ensuite à l'école de théâtre en 1962. De 1963 à 1965, il est engagé à la Freie Volksbühne Berlin. En 1965, il fonde son Berlin Tournee Theater, qu'il doit fermer après 17 représentations. À partir de 1967, il travaille comme artiste de cabaret au Renitenztheater de Stuttgart. De 1969 jusqu'à sa dissolution temporaire en 1972, il fut membre de la Société du rire et du tir de Munich aux côtés de Dieter Hildebrandt, Klaus Havenstein, Jürgen Scheller et Ursula Noack. Il est apparu sur les scènes de théâtre de Hambourg, Cologne et Düsseldorf et a effectué 24 tournées théâtrales. Jüssen a joué dans des pièces de tabloïd ainsi que dans des pièces sérieuses de William Shakespeare, Tom Topor, Friedrich Schiller, Wolfgang Borchert et Molière, entre autres. De 1976 à 1977, il incarne Adolar von Scheußlich, amoureux timide au travail, dans la série burlesque d'ARD Klimbim. En 1990, il a joué dans la série comique The Dear Relatives. À partir de mai 2004, il part en tournée avec l'ancien ensemble Klimbim avec la pièce qu'il a écrite The Klimbim Family Lives, au cours de laquelle 320 représentations ont été données. Jussen a eu des apparitions dans de nombreuses séries télévisées, notamment Derrick, Homicide et Florida Lady. Il a notamment écrit des scénarios pour Notes from the Province de Dieter Hildebrandt. À partir de 2001, Jüssen est apparu deux fois par an comme "Prussien de service" avec le Chiemgauer Volkstheater dans des enregistrements télévisés de la radio bavaroise. Jüssen a reçu le prix Adolf Grimme et est également apparu comme auteur de livres. Son troisième roman Joseph Satan a été publié en février 2007. Il a reçu le prix des frères Grimm du Land de Berlin pour sa pièce de théâtre pour enfants Kaspar et le Lion Poldi. Il a réalisé une version scénique de la nouvelle Wanda de Gerhart Hauptmann et adapté des pièces de Shakespeare, Molière et Ben Jonson. Jissen était marié à la chanteuse pop Lena Valaitis depuis 1979 et avait un fils avec elle. Il a vécu pour la dernière fois à Munich. Depuis fin 2007, Jissen, qui était un gros fumeur depuis 45 ans, souffrait d'un cancer du poumon dont il a succombé le 10 novembre 2008. Sa tombe se trouve au cimetière forestier de Grünwald, près de Munich.
